✅@2023-04-14T08:50D90 AM4-2023F-1
Fourier解析を具体的に理解するための物理振動と波動、周期、振動数、波数、波長について理解する。 三角関数についてこれまで学んできたことを再確認する。
Fourier解析で行うことを理解する。
08:35:35 時点で5人もいないの笑う
純粋数学と応用数学にインパクト
至る所で使われている
計算原理を学ぶのがメイン
定理の証明とかがメインかな？
論理展開メイン
三角函数の復習
$ y:t\mapsto A\sin\frac{2\pi n}{T}t
$ A>0, $ n\in\N
https://kakeru.app/6fdf097e217602d4b816911f13f55666 https://i.kakeru.app/6fdf097e217602d4b816911f13f55666.svg
これ口頭で聞かれたらわからなかったな
書かないと答えられない
$ nが大きくなるほど細かくなる
ここが一番いいたかったらしい
周期の逆数
$ z^3=1
図で解く
https://kakeru.app/d4c3fbd1c3fe754f5ff1a9f8b6ff024f https://i.kakeru.app/d4c3fbd1c3fe754f5ff1a9f8b6ff024f.svg
式展開で解く
$ \iff z^3-1=0
$ \iff (z-1)(z^2+z+1)=0
$ \iff z\in\left\{1,-\frac12\pm\frac12\sqrt3 i\right\}
極形式で表現すると
$ =\left\{1,e^{\pm\frac23\pi i}\right\}
$ =\left\{1,e^{\frac23\pi i},{e^{\frac23\pi i}}^*\right\}
$ =\left\{e^{\frac23\pi i\cdot 0},e^{\frac23\pi i\cdot 1},e^{\frac23\pi i\cdot 2}\right\}
$ z^4=1 \iff z=\exp\left(2\pi i\cdot\frac m4\right)\text{ .for }\forall m\in\Z
$ =\exp\left(\pi i\cdot\frac m2\right)\text{ .for }\forall m\in[0,1,2,3]
$ =\exp\left(\pi i\cdot\frac m2\right)\text{ .for }\forall m\in[-1,0,1,2]
$ z^5=1 \iff z=\exp\left(2\pi i\cdot\frac m5\right)\text{ .for }\forall m\in\Z
$ =\exp\left(2\pi i\cdot\frac m5\right)\text{ .for }\forall m\in[0,1,2,3,4]
$ =\exp\left(2\pi i\cdot\frac m5\right)\text{ .for }\forall m\in[-2,-1,0,1,2]
$ z^n=1=e^{2m\pi i}\text{ .for }\forall m\in\Z
$ \iff z=\exp\left(2\pi i\cdot\frac mn\right)\text{ .for }\forall m\in\Z
周期性を除くと
$ [0,2\pi i] ：$ z=\exp\left(2\pi i\cdot\frac mn\right)\text{ .for }\forall m\in[0, n\lbrack
$ [-\pi, +\pi] ：$ z=\exp\left(2\pi i\cdot\frac mn\right)\text{ .for }\forall m\in[0, n-1]
うーん、$ m\%2=0のとき、真ん中で分割するのが難しい？
周期性
$ \exp\left(2\pi i\frac{N+1}{N}\right)=e^{2\pi i \frac NN}e^{2\pi i\frac1N}=1\cdot e^{2\pi i\frac1N}=\exp\left(2\pi i\frac1N\right)
$ z^N=1の相異なる解を$ z:[0,N\lbrack\to\Complexとする
$ N>1のときの$ \sum_{i\in[0,N\lbrack}z_iを求める
方針
まずは具体例で調べる
$ N=1: $ z_0=1
$ N=2: $ z_0+z_1=1-1=0
$ N=3: $ z_0+z_1+z_2=z_0+2\Re(z_1)=1+2\cdot-\frac12=1-1=0
$ z^Nから求めるのが妥当か。
$ S_n=1+z+z^2+z^3+\cdots+z^n
$ zS_n=z+z^2+z^3+\cdots+z^{n+1}
$ (1-z)S_n=1-z^{n+1}
$ \iff S_n=\frac{z^{n+1}-1}{z-1}
より、
$ \sum_{i\in[0,N\lbrack}z_i=\sum_{k\in[0,N\lbrack}e^{2\pi i\frac kN}=\frac{e^{2\pi i\frac NN}-1}{e^{2\pi i\frac 1N}-1}=\frac{1-1}{e^{2\pi i\frac 1N}-1}=0
幾何学的に見る
ちょっと線がずれたけど気にしない
https://kakeru.app/a0a29084ed966dff41fa0627749aee32 https://i.kakeru.app/a0a29084ed966dff41fa0627749aee32.svg